MATEMÁTICAS APLICADAS

SISTEMA  DE  ECUACIONES

Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

v  Existe únicamente una  solución.

v  Existe una  cantidad  infinita de  soluciones.

v  No existe  solución.

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.

Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

v  Sustitución 

v  Igualación

v  Reducción

v  Gauss

v  Cramer

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

EJEMPLO  1

EJEMPLO  2

Se despeja x en la segunda ecuación:             x = 8 – 2y Se sustituyen en la primera ecuación:             3(8 – 2y) – 4y = – 6 Operando:           24 − 6y − 4y = − 6           24 – 10y = – 6          − 10y = − 6 − 24         − 10y = − 30          Se resuelve:  y = 3 Se sustituye este valor en la segunda:          x  + 2(3) = 8          x + 6 = 8          x = 8 – 6 = 2         Solución del sistema:           x = 2, y = 3

Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x             y = 11 - 3x Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 – 3x)".            5x - (11-3x) = 13 Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente           5x – 11 + 3y = 13           5x + 3x = 13 + 11           8x = 24           x = 3 Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema :    y = 11 - 3x                    y = 11 - 9                     y = 2 Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será  x=3 e y=2

MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

EJEMPLO  1	EJEMPLO  2
Despejamos x en la primera ecuación:          Despejamos x en la segunda ecuación:          x = –1 – 2y Igualamos ambas expresiones:              Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:            x = 3 + 2(−1)            x = 3 − 2            x = 1 Solución del sistema          x = 1, y = –1	Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita         Igualamos ambas ecuaciones            11 - 3x = -13 + 5x            8x = 24             x = 3 Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y             y = 11 - 9             y = 2

MÉTODO DE REDUCCIÓN

El procedimiento, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

EJEMPLO  1

EJEMPLO  2

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por  para poder cancelar la incógnita. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:  -2(2x + 3y)              - 4x - 6y = -10 Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita  ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita : El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita  en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de  es igual a:

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así no más se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno: Para este ejemplo eliminamos "y" y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos             y = 2

SISTEMAS  DE  ECUACIONES  DE  3 X 3

METODO DE  GAUSS

Este  método consiste en  utilizar  el  método  de  reducción  de  manera  que  en  cada  ecuación  tengamos una  incógnita  menos  que  en la  ecuación  precedente.

1.    ponemos como  primera  ecuación  la  que  tenga   cómo coeficiente de x  : 1 ó -1,   en  caso  de  que no fuera  posible  lo  haremos  con y o z ,  cambiando  el  orden de las  incógnitas.

2.    Hacemos la reducción  con  la primera y  segunda ecuación ,  para  eliminar  el termino  en x  de  la  segunda ecuación .  Después ponemos como  segunda ecuación  el  resultado  de la operación.

3.    Hacemos  los  mismo  con  la  primera  y  la  tercera  ecuación , para  eliminar  el  termino en x.

4.    Tomamos las  ecuaciones 2  y  3 , transformadas , para  hacer reducción  y  eliminar  el termino  en  y

5.    Obtenemos  el  sistema  equivalente escalonado

6.    Encontrar  las soluciones.

EJEMPLO

1.    Ponemos  como primera  ecuación la  que tenga  como coeficiente  de  x: 1 ó -1,  en  caso  de  que  no fuera posible lo  haremos con y o z , cambiando el orden  de las  incógnitas 2.    Hacemos reducción  con  la 1ª y 2ª  ecuación  para  eliminar  el termino  en  x  de  la  2ª  ecuación . Después  ponemos como  segunda ecuación  el resultado  de  la  operación. E'2 = E2 −3E1 3.    Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. 4.    E'3 = E3 – 5E1 Tomamos  las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y E''3 = E'3 − 2E'2 5.    Obtenemos el sistema equivalente  escalonado. 6.    Encontrar las soluciones Z: 1 -y + 4 ·1 = −2   y : 6 x + 6 −1 = 1     x: -4

REGLA DE  CRAMER

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS	SISTEMA  DE  TRES  ECUACIONES  CON TRES  INCOGNITAS
·         Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones: ·         Lo representamos en forma de matrices: ·         Entonces,  e  pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:	·         La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes: ·         Que representadas en forma de matriz es: ·         , ,  pueden ser encontradas como sigue:

EJEMPLOS  DE PROBLEMAS  APLICADOS A LA  ADMINISTRACION  Y  LA ECONOMIA  CON  SISTEMAS DE  ECUACIONES LINEALES

1.    4  barras  de pan y 6 litros  de leche cuestan 6,8 € ; 3  barras  de pan y 4 litros  de leche  cuestan  4,7 € .¿Cuánto vale una  barra  de pan? ¿Cuánto  vale  un litro  de leche? X= barra de pan Y= litro  de leche 4X + 6Y = 6,8 €                               4X + 6(0,8)= 6,8 3X + 4Y = 4,7€                                4X + 4,8  = 6,8                                                         4X-6,8 = - 4,8 4X + 6Y = 6,8 € (-3)                         X = 2/ 4 3X + 4Y = 4,7€ (4)                            X= 0,5   -12X – 18Y = -20,4  12X + 16Y = -18,8             2Y = -1,6                Y= .1, 6                         2                  Y= 0,8

2.    Una  persona compra un equipo  de música y un  ordenador por 2,500  €. Después de  algún  tiempo  los  vende por 2157,50€. Con el equipo  de música  perdió el 10% de su valor, y con el  ordenador el  15%. ¿cuánto le  costó  cada uno?      X= equipo  de música                                  Y=ordenador  x + y= 2,500€ x-(x * 10/100)+ (y-(y*15/100)= 2157,50€. (x-0,1x)+ (y-0,15y)= 2157,50€. 0,9x + 0,85y = 2157,50€. X + y= 2,500€               (0,9) 0,9x + 0,85y = 2157,50€. -0,9x – 0,9y =-2,250€                                         x + 1850=2500            0,9x + 0,85y=2157,50€.                                      X=2500-1850            -0,05y=-92,5                                             x = 650              y= -92,5                    -0,05            Y= 1850

3.    (Mezclas) La tienda El Sol, que se especializa en todo tipo de frituras, vende cacahuates a $0.70 la libra y almendras a $1.60 la libra. Al final de un mes, el propietario se entera de que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar cacahuates  con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a $1.00 la libra. ¿Cuántas libras de cacahuates y de almendras deberá mezclar para mantener  los mismos  ingresos? SOLUCIÓN Sea x las libras de cacahuates que la mezcla contiene y y las libras correspondientes  de almendras. Dado que el peso total de la mezcla es de 45 libras, x +y = 45 El ingreso de x libras de cacahuates a $0.70 la libra es de 0.7x dólares y el ingreso de y libras de almendras a $1.60 la libra es de 1.6y dólares. El ingreso obtenido de la mezcla de 45 libras a $1.00 por libra será de $45. Dado que el ingreso de la mezcla deberá ser el mismo que el de las frutas separadas, tenemos la siguiente ecuación: Ingreso de los cacahuates +Ingreso de las almendras =Ingreso de la mezcla 0.7x + 1.6y =45 7x + 16y = 450 De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente: x + y =45 7x +16y = 450 De la primera ecuación, obtenemos que x = 45 - y. Luego sustituimos este valor de x en la ecuación de abajo y despejamos y. 7(45 - y) + 16y =450 315 - 7y + 16y = 450 9y =450 -315 =135 y = 15 Por tanto, x = 45 - y = 45 - 15 = 30. En consecuencia, 30 libras de cacahuates deberán mezclarse con 15 libras de almendras  para formar  la  mezcla.

4.    Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones. X= número  de  hombres Y= número  de  mujeres Z= número de  niños ·         Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños: ·         Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños: ·         También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños ·         Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema ·         Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes: ·         En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación: ·         Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10: ·         Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10. ·         Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

EJERCICIOS  PROPUESTOS  APLICADOS  A LA  ADMINISTRACION  Y  LA  ECONOMIA

1.    El precio del boleto para un concierto es de 225 pesos para público en general, y 150 pesos para estudiantes. La taquilla recaudó 77,775 pesos por la venta de 450 boletos. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

Donde:

·         x es el número de boletos vendidos a público en general

·         y es el número de boletos vendidos a estudiantes

2.    Un  comerciante  de  ganado  compró  1000  reses  a    $150.000  cada  una, vendió  400  de  ellas  obteniendo  una  ganancia  del  25%.  ¿  A  qué  precio deberá  vender  las  restantes  600  reses,  si  la  utilidad  promedio  del  lote completo ha de ser el 30%? 

3.    Un comerciante de autos usados compra dos automóviles en $29.000.000. Vende  uno  con  una  ganancia  del  10%  y  el  otro  perdiendo  el  5%    y  aún obtuvo  una  ganancia  de  $1.850.000.  por  la  transacción  completa.  Encuentre el costo de cada automóvil.

4.    En un  supermercado  un  cliente  compra 5 paquetes  de  un  producto A , 4  de  B y 3  de  C ,  pagando en total 53 euros . otro  cliente compra  dos  paquetes de  A , 7 de  B y 4 de  C , gastando  46 euros . un  tercer  cliente  compra  8 de  A , 13  de  B  y 5   de  C , pagando  lo  que  los  otros  dos  juntos . ¿cuánto  vale  cada  producto?

FUNCION  LINEAL

Una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente  de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

Cuando b es distinto de cero.

RECTAS  PARALELAS ·         Dos rectas  son  paralelas  si  tienen sus                                                                                            pendientes iguales. ·         Dos  rectas son  paralelas si forman un  angulo  de 0º

RECTAS  PERPENDICULARES Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ángulos de 90º.Dos  rectas  son  perpendiculares  si  tienen  sus  pendientes inversas  y cambiadas  de  signo.

EJEMPLOS DE  .RECTAS  PARALELAS

EJEMPLOS: 1 Calcular una recta paralela a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

2 Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas.

PENDIENTE Angulo de  inclinación  con  respecto  al  eje  x. Pendiente dados dos puntos

FORMA PUNTO-PENDIENTE Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella.  La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como.   En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto.

EJEMPLOS

Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de  .              SOLUCION Sustituyendo éstos valores en la fórmula punto-pendiente, obtenemos. Que es la ecuación de la recta.

EJEMPLOS DE PROBLEMAS  APLICADOS  A  LA ADMINISTRACION  Y  LA  ECONOMIA 

Ejemplo  1

Ejemplo  2

Suponga  que  los  clientes demandan  40  unidades  de  un  producto  cuando  el precio  es  de $12 por  unidad y  25  unidades  cuando el  precio  es  de $ cada  uno . Encontrar  la  ecuación  de  la  demanda suponiendo  que es  lineal y el precio  por unidad  cuando  30  unidades son requeridas. Q= 40           Q= 25                              (40,  12)           P= $ 12         P= $ 18                           (25, 18) m =    =  =  = -0,4 y= m(x-x1)+y                                 y= -0,4(30)+28 y=-0,4(x-40)+12                              y= -12+28 y= -0,4x +28                                     y= 16

Un fabricante de escobas  encuentra  que las ventas son de 10,000 unidades  a  la semana  cuando  el  precio  es  de $ 3,000 por unidad ,  pero  las  ventas se  incrementan  a  1,200  unidades cuando  el  precio  se reduce  a  $2,500 por  unidad. Hallar  la  relación  de  demanda  suponiendo  que  es lineal. (10,000 -3,000)  (12,000-2,500) m =    =  =  = -0,25 y= m(x-x1)+y    y=  -0,25 (x-10,000)+3000 y=  -0,25x + 2500 + 3000 y=  -0,25x + 5500

EJERCICIOS  PROPUESTOS

1.    (Ecuación  de  oferta) a  un  precio  de $ 10  por  unidad  ,  una  compañía  proveería 1,200  unidades  de  su producto , y a$ 15  por  unidad ,  4,200  unidades  , determine la  relación  de  la oferta  suponiendo que  sea lineal.

2.    Se sabe  que  la  función  de  producción p(x)  de  un  artículo es lineal  ,  donde  x  es el dinero invertido . Si  se invierten $10,000 se elaboran  92 artículos, si  se invierten $50,500 se producen 497 artículos. Escriba la función de producción p(x).

3.    Suponga  que el  costo  para producir  10 unidades  de  un  producto es  de $ 40 y el de 20 unidades  es  de $70 . si  el  costo  c  está relacionado  linealmente  con  el  producto (q)  ,  determine una  ecuación lineal  que relacione c  con (q) . encuentre  el costo de producir  35 unidades.

FUCION  CUADRATICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax² es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

EJE DE SIMETRÍA O SIMETRÍA	VÉRTICE
PUNTOS DE CORTE EN EL EJE DE LAS ABSCISAS (RAÍCES O SOLUCIONES) (EJE DE LAS X)	PUNTO DE CORTE EN EL EJE DE LAS ORDENADAS (EJE DE LAS Y)
	En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).

EJEMPLOS

1.   Representa gráficamente la función cuadrática:  y = -x² + 4x – 3 Vértice x v = − 4/ −2 = 2     y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1        V(2, 1) Puntos  de  corte  con  el  eje OX x² − 4x + 3 = 0        (3, 0)      (1, 0) Punto de corte con el eje OY. (0, −3)	2. Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² +x + 1 Vértice. xv = −1/ 2     yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= 3/4 V(−1/ 2, 3/ 4)  Puntos de corte con el eje OX. x² + x + 1= 0 1² − 4 < 0       No hay puntos de corte con OX. Punto de corte con el eje OY. (0, 1)
3.  Representa gráficamente la función cuadrática:y = x² + 2x + 1 Vértice x v = − 2/ 2 = −1     y v = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0        V(− 1, 0) Puntos de corte con el eje OX. x² + 2x + 1= 0  Coincide con el vértice: (−1, 0)  Punto de corte con el eje OY. (0, 1)

EJEMPLO DE  APLICACIÓN  DE  FUNCIONES  CUADRATICAS  A  LA ADMINISTRACION  Y  LA  ECONOMIA

La  función de  demanda para un producto  es igual p= 1,000-2q ,  donde  p es  el  precio por  unidad  y  donde q  es  demandada  por  los  productores. Encontrar el nivel de producción  que  maximizara el ingreso  total del  producto  y  determinar el  ingreso. I= p* I= (1,000-2q)*q 1,000-2q2 = 0                                                                  x=  =   q(1,000-2q)= 0                                                                x= 250 q=0 ó 1,000-2q = 0                                                        x= ( 250 - 125,000) 1,000= 2q  = q 500=q

EJERCICIOS PROPUESTOS

1)    si la ganancia  de  la  venta  de  x  unidades de  un  producto es                 P: 90x-200-x²  determine:

·         El  número  de  unidades que  maximizará  la  ganancia (eje  de  simetría).

·         El  valor  optimo (¿máximo o  mínimo?)

·         Grafique la  función.

2)    Si en un mercado de monopólico, la función de demanda de un producto es         P: 175 – 0.50x y la función ingreso es R=px, donde p es el precio y x es el número de unidades vendidas. Determine. La función ingreso y el precio que maximizará el ingreso.

2)

3)    La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es                  P: 80x-0.4x² -200 dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia posible?

3)

FUNCIONES EXPONENCIALES

Una función exponencial con base b es una función de la forma                             f(x) = b^x , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

Crecimiento exponencial

La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable es el

tiempo.

En el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a. Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.

Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento exponencial.

1.    X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y: 2x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

2.   X -3 -2 -1 0 1 Y:(1/2)x 8 4 2 1 1/2

EJEMPLOS  DE  APLICACIÓN  A  LA ADMINISTRACION  Y  LAECONOMIA

1.    Se  tiene $ 1000000  puesto a un interés compuesto del 5% a 10 años . Indicar  cuál es el  monto al  cabo de 10  años  y  cuanto se  genero en  interés. ·         S=p(1+i)n ·         S=1000000(1+5/100)10 ·         S= 1628894 ·         I= s-p ·         I= 1.628.894 -1.000.000 ·         I= 628894

2.     (Inversiones) Una suma de $200 se invierte a un interés compuesto anual del 5%. Calcule el valor de la inversión después de 10 años. Solución En este caso R = 5 e i = R/100 = 0.05. Después de n años, el valor de la inversión es P(1 + i)n = 200(1.05)n Cuando n =10, esto es 200(1.05)10 = 200(1.628895) = 325.78 El valor de esta inversión es por tanto $325.78.

3.  ¿Qué es mejor para un inversionista, 12% compuesto mensualmente 12.2% compuesto trimestralmente? SOLUCIÓN  Calculamos la tasa efectiva de cada una de las dos inversiones. Para la Primera, i = 0.01 y k = 12, de modo que ief = (1 + i)k - 1 = (1.01)12 - 1 =0.126825 Para la segunda, i =0.0305 y k = 4, de modo que ief = (1 + i)k - 1 = (1.0305)4 -1 =0.127696 La segunda tiene una mayor tasa efectiva, por lo que es la mejor de las dos.

EJERCICIOS DE  APLICACIÓN PROPUESTOS

1.    Un profesionista invierte 50,000 pesos en un banco que paga el 8% de interés anual. Si se reinvierten los dividendos cuatrimestralmente, ¿cuánto capital tendrá en 12  años

2.    Una persona debe 6,000 pesos en su tarjeta de crédito que cobra una tasa de interés anual de 36% .si no realiza ningún pago y el banco capitaliza los intereses trimestralmente, cuánto deberá en 2  años?

3.    En qué se convierte al cabo de 15 años un capital de 23000€ al 5,5% anual?

3.

FUNCION LOGARITMICA

Los logaritmos

Dados dos números reales positivos, a y b (a≠1), llamamos logaritmo en base a de b al número al que hay que elevar a para obtener b. La definición anterior indica que: log_a b=c equivale a a^c =b

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5. Cambio de base:

EJEMPLOS
Representa y estudia las funciones a)    f(x)=2·log3x                  Dominio=(0,+∞)                   Recorrido= IR                   Asíntota: x=0                   Corte OX: (1,0)                   Creciente	b)    f(x)=log3x+1 Dominio=(0,+∞) Recorrido= IR Asíntota: x=0 Corte OX: (1/3,0) Creciente

EJEMPLOS  DE  PROBLEMAS  DE  APLICACIÓN  DE  LOGARITMOS  A  LA  ADMINISTRACION Y  LA ECONOMIA

1.    En el testamento de Benjamín Franklin, famoso científico, éste donaba 1.000 libras a los habitantes de Boston, a condición de que se prestasen al 5% a artesanos jóvenes. Según Franklin, al cabo de 100 años, se habrían convertido en 131.000 libras. Comprobemos si esto es cierto: El capital final al cabo de esos 100 años será x = 1.000 · 1,05100. Para calcular esa enorme potencia usaremos los logaritmos: x = 1.000 · 1,05100; log x = log 1.000 + 100 · log 1,05 log x = 3 + 100 · 0,0212 = 5,12; x = 105,12 = 131.825,67 libras

2.    (Inversiones) La suma de $100 se invierte a un interés compuesto anual del 6%. ¿Cuánto tardará la inversión en incrementar su valor a $150? Solución A un interés del 6% anual, la inversión crece por un factor de 1.06 cada año. Por tanto, después de n años, el valor es 100(1.06)n. Igualando esto a 150, obtenemosla siguiente ecuación con incógnita n: 100(1.06)n =150 Ó (1.06)n = 1.5 Tomamos logaritmos en ambos lados y simplificamos. log (1.06)n = n log (1.06) = log (1.5) En consecuencia, le lleva casi 7 años a la inversión incrementar su valor a $150.

3.    (Inversión) Cuando la composición se hace de manera continua, ¿qué tasa nominal de interés da el mismo crecimiento en un año completo que una tasa de interés anual del 10%? Solución Una suma P invertida a una tasa nominal de interés de R por ciento compuesto continuamente tiene un valor Pei después de un año, con i = R/ 100. (Tome x = 1 en la fórmula para composición continua). Si se invierte al 10% anual, aumentaría por un factor de 1.1 durante cada año. Por tanto, debemos hacer Pei = (1.1)P ó ei =1.1 Si tomamos logaritmos naturales en ambos miembros, obtenemos ln(ei ) = ln(1.1) Pero, ln(ex ) = x, para cualquier número real x, de modo que i = ln(1.1) =0.0953 Por tanto, R = 100i =9.53. De modo que 10% de interés compuesto anualmente es equivalente al crecimiento anual proporcionado por medio de una tasa de interés nominal de 9.53% compuesto continuamente.

EJERCICIOS  DE  APLICACIÓN  PROPUESTOS

1.    (Función de costo) Una companía manufacturera encuentra que el costo de producir x unidades por hora está dado  por la fórmula

C(x) = 5 +10 log(1 + 2x)

Calcule:

a.    El costo de producir 5 unidades por hora.

b.    El costo extra por aumentar la tasa de producción de 5a 10 unidades por hora.

c.    El costo extra por aumentar de 10 a 15 unidades por hora.

2.    (Publicidad y ventas) Una compañía encuentra que la cantidad de  dólares  y que  se  debe gastar  semanalmente en  publicidad para  vender x  unidades  de  su producto está dada por :

Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender:

a)    100 unidades

b)    300 unidades

c)    490 unidades

3.    (Función de costo) Una compañía está ampliando sus instalaciones y  tiene  opción  para elegir entre dos modelos.

Las funciones de costos son C1(x) = 3.5 + log (2x + 1) y                        C2(x) = 2 + log(60x +105)  donde x es la tasa de producción.

Encuentre la tasa x a la cual los dos modelos tienen  los mismos costos. ¿Para valores grandes de x, cuál modelo  es más barato?

4.    Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln (3x + 1).

·         Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33.

·         ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares

·

5.    La función demanda de un producto está dada por P=  donde p es el precio unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?

6.    Digamos que la función demanda para un producto está dada por :

P:

·         ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades?

¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4?

LIMITES

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

LÍMITES LATERALES

El limite cuando: x x₀⁺ ≠ x → x₀^-.  Por  lo tanto,  el limite cuando x → x₀  no  existe.

 El límite cuando: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Por lo tanto, el límite cuando x → x₀ no existe.

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

Entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

PROPIEDADES  DE  LOS LÍMITES

 

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de	Expresión
Una constante
La función identidad
El producto de una función y una constante
Una suma
Una resta
Un producto
Un cociente
Una potencia
Un logaritmo
El número e
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal	.

EJEMPLOS

Si f(x) = (x2 - 9)/ (x -3), evalúe  Solución Si sustituimos x = 3 en f(x), obtenemos        y concluimos que f(x) no está  definida en x =3. Sin embargo, existe, dado que podemos escribir La eliminación del factor x - 3 es válida siempre que x ≠ 3, y, por supuesto, no es válida si x = 3. Es fácil advertir que cuando x tiende a 3, la función x + 3 está cada vez más cerca del valor 6. (Fácilmente se puede convencer de esto calculando algunos valores como en las tablas 2 y 3). En consecuencia,

DERIVADAS

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer

f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo

[a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] = 

EJEMPLO

Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2] Solución             T.V.M. [0, 2] =

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media  en el intervalo [a, a +h] sería 

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

REGLAS  DE  DERIVACION

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Suma y diferencia de funciones

Dadas dos funciones u (x) y v (x) continuas y derivables, la derivada de la función suma (o diferencia) de las dos es igual a la suma (o diferencia) de sus derivadas.

Producto de una función por una constante

Dada una función f (x) continua y derivable y un número real , la derivada del producto de ambos es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Dada una función:

Entonces la derivada será:

Producto de funciones

Dadas dos funciones continuas y derivables, la derivada del producto de las dos es igual a la derivada de la primera por la segunda, sin derivar, más la primera por la derivada de la segunda. Dada una función:

Entonces su derivada se calcula como:

Cociente de funciones

Dadas dos funciones continuas y derivables u (x) y v (x), donde la segunda es distinta de cero, la derivada del cociente de la primera por la segunda se determina con arreglo a la expresión dada a continuación.

Dada una función:

Se cumple que su derivada primera es:

EJEMPLOS

EJERCICIOS  PROPUESTOS  APLICADOS  A LA  ADMINISTRACION  Y  LA ECONOMIA

·         (Precio marginal) Si la función de demanda está dada por p =f(x), entonces dp/dx se denomina función de precio marginal. La ecuación de demanda de cierto producto es p = 2000 - 5x - x². Determine el precio marginal a un nivel de demanda de 15 unidades.

·         (Precio marginal) La ecuación de demanda de cierto producto es p= 25/(x+1). Determine la función de precio marginal.

·         (Demanda marginal) Si la relación de demanda está dada por x = f(p), entonces dx/dp se denomina la demanda marginal. Si la ecuación de demanda de cierto producto es p² + 2x =50, determine la demanda marginal a un nivel de precio de   p= 2. Interprete el resultado.

CONCLUSIONES

Las  matemáticas aplicadas es  un  campo  importante en  la  vida  cotidiana  ya  que a  través  de  sus diversos  métodos  y  herramientas  le  permite adquirir  destrezas  y  habilidades  al estudiante  para  resolver  problemas  del mundo  real.

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en Física, Química, Biología, Medicina, Ciencias sociales, administración, Ingeniería, economía, Finanzas, Ecología entre otras. Cualquier parte de las matemáticas podría ser utilizada en problemas reales; sin embargo una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera", es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las Matemáticas mismas.